时间：2025年12月31日（周三）10:00
地点：紫金港校区海纳苑8幢322教室
报告题目：极坐标下具有中心连续性的基函数
报告人：蒋沛攸
摘要：
磁面坐标系被广泛用于磁约束聚变模拟，但是磁轴处的奇异性问题一直未得到解决。传统的Dirichlet边界和unicity边界无法解决，长时间模拟会导致严重的数值不稳定性，而挖孔法不符合物理，特别是在非线性模拟中不稳定模接近磁轴时。这引出了一个数学问题：如何处理极坐标下有限元基函数在原点的奇异性问题。我们在单位圆盘上的极坐标系中引入了一种光滑的 B 样条离散化方法，用以修正标准张量积 B 样条形式中由于坐标奇点导致的原点处连续性缺失问题。该方法通过 Galerkin 投影，在最内层径向区域内，将源自笛卡尔单项式极坐标表示的角向谐波基函数( S_l^{-m}(r,\theta) ) 和 ( S_l^{m}(r,\theta) ) 投影到中心的张量积 B 样条基上，从而构造出“光滑极坐标样条”（smooth polar splines）。光滑极坐标样条是标准张量积 B 样条的线性组合，并且属于同一函数空间，这使得可以通过一个精确的延拓（prolongation）算子以及作用于离散变量上的相应限制（restriction）算子，在 ( C^\infty ) 正则子空间与原始离散化空间之间进行映射。该方法在远离原点的区域与标准张量积 B 样条完全一致，仅在以原点为中心的基函数之间保持正交性，同时保留了局部支撑性和稀疏矩阵结构。该方法除了解决连续性外，还具有其他数学性质：显著改善了矩阵的条件数（condition number），保证了电荷守恒，减少了粒子—网格（particle-in-cell）模拟中原点附近的统计误差，并在特征值问题中消除了非物理的特征值。总体而言，该方法为物理模拟中的极坐标体系提供了一种稳健的、高阶且高效的张量积 B 样条改进方案。
欢迎各位老师和同学参加！
